Ontologia da matemática

Deixo aqui um excerto de Filosofia da Matemática, de Stewart Shapiro, acabado de publicar pelas Edições 70, com tradução e notas do professor Augusto Franco de Oliveira. A publicação deste livro entre nós é uma excelente notícia, pois é do melhor que há na área, escrito por um reputado filósofo da matemática.

   Devemos considerar a linguagem da matemática literalmente e concluir que números, pontos, funções, e conjuntos existem? Se existem, são independentes do matemático, da sua mente, linguagem, e assim por diante? Definamos realismo em ontologia como sendo o ponto de vista de que pelo menos alguns objectos matemáticos existem objectivamente, independentemente do matemático.

   O realismo em ontologia opõe-se a pontos de vista como o idealismo e o nominalismo. O idealista concorda que os objectos matemáticos existem, mas defende que dependem da mente (humana). Poderá propor que os objectos matemáticos são construções que emergem da actividade mental de cada matemático. Isto seria um idealismo subjectivo, análogo a um ponto de vista semelhante sobre objectos físicos comuns. Estritamente falando, nesta perspectiva cada matemático tem os seus próprios números naturais, plano euclidiano, e assim por diante. Outros idealistas tomam os objectos matemáticos como sendo parte do tecido mental partilhado por todos os humanos. Talvez a matemática diga respeito à possibilidade omnipresente de construção. Isto é uma espécie de idealismo inter-subjectivo. Todos os idealistas concordam na contra­factual de que se não houvesse mentes, não haveria objectos matemáticos. Os realistas ontológicos negam a contrafactual, insistindo que os objectos matemáticos são indepen­dentes da mente.

   O nominalismo é uma negação mais radical da existência objectiva de objectos matemáticos. Uma versão defende que os objectos matemáticos são meras construções linguísticas. No discurso comum distinguimos um dado item, tal como o autor deste livro, de um nome do item. Stewart Shapiro não é o mesmo que “Stewart Shapiro”. Um é uma pessoa e o outro um par de palavras. Alguns nominalistas negam esta distinção relativa a objectos matemáticos, sugerindo que o número nove, por exemplo, é apenas o numeral correspondente “9” (ou “nove”, “IX”, etc.). Isto é uma variação de um nominalismo mais tradicional relativamente aos chamados “universais”, como cores e formas. Para este ponto de vista, popular durante o período medieval, só os nomes são universais. Nada mais é preciso para um objecto ser vermelho que ter a palavra “vermelho” correctamente aplicada a (um nome de) esse objecto.

   Hoje em dia é mais comum um céptico negar a existência de objectos matemáticos do que construí-los a partir da linguagem. Este niilismo matemático também é chamado “nominalismo”.

   Alguns filósofos defendem que números, pontos, funções, e conjuntos são proprie­dades ou conceitos, distinguindo estes dos objectos mediante algum critério metafísico ou semântico. Classificaria estes filósofos de acordo com o que eles dizem sobre propriedades ou conceitos. Por exemplo, se um tal filósofo defendesse que as proprie­dades têm existência independente da linguagem e da mente — um realismo relativo a propriedades — então classificá-lo-ia como um realista em onto­lo­gia no que respeita à matemática, visto que defende que a matemática tem um conteúdo distinto e este conteúdo é independente da linguagem e da mente do matemático. Analogamente, se um filósofo defende que os números, digamos, são conceitos e que os conceitos são mentais, então é idealista relativamente à matemática, e se é um nominalista tradicional relativamente a propriedades ou conceitos, então é um nominalista relativamente à matemática.

   O realismo em ontologia não tem, por si mesmo, quaisquer ramificações relativas à natureza dos objectos matemáticos postulados (nem propriedades nem conceitos), além da mera tese de que eles existem objectivamente. Como são os números? Como se relacionam com objectos mais banais como pedras e pessoas? Entre os realistas ontoló­gicos, o ponto de vista mais comum é que os objectos matemáticos não têm causa aparente, são eternos, indestrutíveis, e não parte do espaço-tempo. As práticas matemática e científica seguem isto, como a uma moda, uma vez admitida a existência de objectos matemáticos. A literatura científica não contém referência alguma à localização dos números ou à sua eficácia causal em fenómenos naturais ou a como se poderia proceder para criar ou destruir um número. Não há menção de experiências para captar a presença de números ou determinar as suas propriedades matemáticas. Tal discussão seria patentemente absurda. O realismo em ontologia é por vezes chamado “plato­nismo”, porque as Formas de Platão também não têm causa aparente, são eternas, indestru­tíveis, e não fazem parte do espaço-tempo (ver Cap. 3, §1).

   As versões comuns do realismo em ontologia explicam bem a necessidade da matemática: se o conteúdo da matemática é como estes realistas dizem que é, então as verdades da matemática são independentes de qualquer coisa contingente sobre o universo físico e de qualquer coisa contingente sobre a mente humana, a comunidade de matemáticos, e assim por diante. Até agora, tudo bem.

    E quanto ao conhecimento a priori? A conexão com Platão poderá sugerir a existência de uma conexão quase-mística entre os seres humanos e o reino matemático, desprendido e abstracto. Esta faculdade, às vezes chamada “intuição matemática”, leva suposta­mente ao conhecimento de proposições matemáticas básicas, tal como os axiomas de várias teorias. A analogia é com a percepção sensorial, que leva ao conhecimento do mundo externo. Kurt Gödel (1964) parece ter algo como isto em mente com a sua sugestão de que alguns princípios da teoria dos conjuntos “se nos impõem como verdadeiros” (ver Cap. 8, §1). Visto que, presumivelmente, a conexão entre a mente e o reino matemático é independente de qualquer experiência sensorial, a manobra quase-mística tornaria o conhecimento matemático a priori por excelência. Apesar da autoridade de Gödel, todavia, os filósofos con­tem­porâneos rejeitam esta mais ou menos intuição matemática directa. Esta faculdade está praticamente ausente na tese naturalista do conhecedor humano como organismo físico no mundo natural (ver Cap. 1, §3). De acordo com o naturalista, qualquer faculdade epistémica reivindicada pelo filósofo deve ficar sujeita a escrutínio científico comum. Quer dizer, um filósofo/cientista não pode invocar uma conexão directa entre a mente e o universo matemático enquanto não tiver encontrado uma base natural, científica para ela. Uma tal base parece bem improvável se os números, pontos, e assim por diante forem tão eternos e sem causa como o realista típico diz que são. Como vamos estabelecer uma ligação a tais objectos? Assim, talvez o platonista tenha ido longe de mais com esta conexão mente-matemá­tico via intuição matemática. Às vezes, o “platonismo” do realismo em ontologia é escrito com um “p” minúsculo, para temperar a ligação a Platão. O realista em ontologia típico defende algo como uma ontologia platónica para a matemática, sem a epistemologia platónica.

   Com a rejeição de uma conexão quase-mística, todavia, o realista ontológico fica com um mistério epistémico profundo. Se os objectos matemáticos são parte de um reino matemático destacado, eterno e sem causa aparente, como é possível aos seres humanos obterem conhecimento dele? Parece próximo de um dado imutável que possuímos pelo menos algum conhecimento matemático, seja ele qual for. Se o realismo em ontologia é correcto, o conhecimento matemático é conhecimento de um domínio matemático abstracto e sem causas. Como é este conhecimento possível? Como podemos saber qualquer coisa acerca do universo matemático supostamente desprendido? Se o nosso realista é também um naturalista, o desafio é mostrar como um ser físico num universo físico pode vir a saber alguma coisa sobre objectos abstractos como números, pontos, e conjuntos.

   Consideremos agora os anti-realismos. Como defendem os idealistas, se os números, por exemplo, forem criações da mente humana ou forem inerentes ao pensamento humano, então o conhecimento matemático é, em algum sentido, conhecimento das nossas próprias mentes. A matemática seria a priori na medida em que este auto-conhe­cimento é independente da experiência sensorial. Semelhantemente, as verdades matemáticas seriam necessárias na medida em que a estrutura do pensamento humano é necessária. O maior problema de pontos de vista como este é enquadrar a visão postulada dos objectos mate­máticos e o conhecimento matemático com o reino pleno da matemática, tal como esta é praticada. Há infinitos números naturais, e até mais números reais do que números naturais. O idealista deve enquadrar o nosso conhecimento dos números reais e naturais com a finitude aparente da mente.

   Se os objectos matemáticos são construídos a partir de itens linguísticos, então o conhecimento matemático é conhecimento da linguagem. Não é claro o que adviria da tese de que as verdades matemáticas são necessárias e conhecíveis a priori. Isso dependeria dos pontos de vista nominalista sobre a linguagem. O conhecimento matemático seria conhecível a priori na medida em que o nosso conhecimento da linguagem é a priori. Aqui, novamente, o problema principal é o de reconciliar este ponto de vista com o vasto campo das matemáticas. Finalmente, se não há objectos matemáticos, como alguns nominalistas alegam, então o filósofo deve interpretar as proposições matemáticas como não envolvendo referências a objectos matemáticos, ou então o nominalista deve defender que as proposições matemáticas são sistematica­mente falsas (logo, não necessárias) ou vácuas. Semelhantemente, o nosso nominalista deverá interpretar o conhecimento matemático em termos que não os de conhecimento de objectos matemáticos, ou então argumentar que não há conhecimento matemático (logo, nenhum conhecimento matemático a priori) de todo.

(pp. 48-54)