A lógica é tão limitada!

Tantas vezes ouvi este desabafo: 

«Qual o interesse de ensinar lógica aos adolescentes aprendizes de filosofia? É errado submeter a filosofia à frieza linear e mecânica da lógica! A lógica é, de resto, bastante limitada e nem tudo se pode reduzir à lógica.»

A pergunta é perfeitamente justificada e o tema merece ser debatido. No entanto, o resto do desabafo assenta em dois pressupostos duvidosos. Mas um deles não é o de que a lógica é limitada. Isso é uma verdade; uma trivialidade, diria mesmo. 

Claro que a lógica é limitada! E ainda mais se pensarmos na pequeníssima parte da lógica que se ensina no secundário. Basta ver que as ferramentas de lógica proposicional dadas no secundário não são muito mais complexas nem mais extensas do que a aritmética básica que os alunos aprendem na escola primária. A lógica que se ensina no secundário é mais ou menos comparável às operações algébricas elementares aprendidas na escola primária: adição, subtracção, multiplicação, divisão e igualdade. Quanta matemática não fica de fora também aí? 

Ainda assim, qualquer um reconhece que, apesar de limitada, essa matemática básica não deixa de ser imprescindível para resolver muitos dos seus problemas práticos quotidianos: por exemplo, para descobrir quantos lápis pode comprar com o dinheiro que a mãe lhe deu ou para confirmar se o troco que lhe dão está certo. Claro que ainda não dá para resolver complexas equações de terceiro grau nem para calcular a raíz quadrada de um número.

Porquê, então, afirmar a banalidade de que a lógica é muito limitada? Será que alguém pensa que a lógica que se ensina é toda a lógica? Há muitíssima mais lógica para estudar do que isso. E só quem procura aprofundar o seu estudo está em condições de reconhecer quais são exactamente as suas reais limitações, que não são poucas. Daí que, ao contrário do que muitas vezes se pensa, também na lógica haja intenso debate e divergências fundamentais. E muitas discussões não são apenas sobre os aspectos mais recônditos e rebuscados da lógica. Coisas como os princípios da não-contradição e o do terceiro excluído ou a semântica de algumas condicionais têm sido amplamente debatidas, dando mesmo origem a sistemas lógicos  alternativos à lógica clássica, rejeitando vários aspectos desta. 

Para se ter uma ideia, veja-se o esquema acima. Comecei a elaborar esse esquema há uns anos, depois da leitura de Deviant Logic, de Susan Haack, um livro de 1974. Fui lendo outros livros sobre lógica e, tendo em mente uma acção de formação de lógica para colegas entretanto agendada, acabei por concluir a tarefa. 

É importante sublinhar que mesmo este esquema não inclui toda a lógica, o que permite ter uma ideia do vasto universo que constitui a modelação do raciocínio comum.

Aceitam-se eventuais correcções ao esquema. Dado que foi feito por mim, é possível que alguém encontre imprecisões. Devo dizer que não sou um especialista (nem grande nem pequeno!) em lógica, mas tenho o prazer de conhecer várias pessoas muitíssimo mais entendidas no assunto do que eu, com as quais também tenho aproveitado para aprender.    

O que é um formalista?

A resposta foi dada por uma mente brilhante, que recentemente se apagou: o lógico, filósofo, pianista e mágico americano Raymond Smullyan. É a seguinte:

Um formalista é aquele que não consegue entender uma teoria a não ser que ela não tenha sentido. 

Smullyan, que sempre foi uma pessoa divertida, contou também como a lógica o ajudou em tempos a arrancar um beijo a uma encantadora rapariga música de Nova Iorque logo no primeiro encontro que teve com ela. O diálogo que levou ao beijo foi mais ou menos o seguinte:

Ele: Pode fazer-me um favor?
Ela: Diga primeiro qual é.
Ele: Vou fazer uma afirmação acerca de si e que apenas exige um pouco de lógica para determinar se é verdadeira ou se é falsa. Se essa afirmação for verdadeira, dá-me um autógrafo; mas se a afirmação for falsa, dá-me um beijo.
Ela: Humm... diga lá. Qual é a afirmação?
Ele: Não me vai dar um autógrafo nem um beijo.

A encantadora jovem música reflectiu e, como também era inteligente, concluiu que não tinha outro remédio senão dar um beijo a Smullyan, para não ter de cair em contradição.

Como se vê, a lógica é bem mais útil do que muitos pensam e tem aplicações que mal imaginam.

Uma busca épica da verdade

Finalmente, a edição portuguesa! O enorme sucesso de Logicomix: Uma Busca Épica da Verdade, a original banda desenhada matemático-filosófica dos gregos Apostolos Doxiadis e Christos Papadimitriou, com arte de Alecos Papadatos e Annie di Donna, chega a Portugal, numa excelente edição da Gradiva. 

Para se ter uma ideia do sucesso deste livro, originalmente escrito em grego, basta ver que já foi editado nos seguintes países: Holanda, EUA, Inglaterra, França, Itália, Alemanha, Finlândia, Brasil (pela Martins Fontes), Croácia, Espanha, Noruega, Polónia, Dinamarca e República Checa, tendo edições em curso também na China, no Japão, na Rússia, na Turquia, em Israel, na Coreia do Sul, e até no Irão. O sucesso não é apenas junto do público, mas também da crítica, quase sempre muito positiva (quando não mesmo entusiástica), sendo-lhe dado destaque nas secções literárias dos mais prestigiados jornais do mundo: New York Times, Guardian, Financial Times, Washington Post, Independent, Time Magazine. Alguns deles colocam-no mesmo entre as suas melhores escolhas. A Amazon, por sua vez, conta com nada menos do que 162 recensões de leitores, com uma avaliação média de quase 5 estrelas. 

Apesar disso, o livro poderia, ainda assim, não ser grande coisa. Mas o sucesso é bem justificado. O que tem, então, Logicomix de especial?

Eu diria que o sucesso do livro deve muito à conjugação de quatro aspectos principais.

1. É uma ideia original e arriscada, que consiste em usar a banda desenhada para abordar temas abstractos e geralmente tidos como difíceis, como a matemática, a lógica e a filosofia. Tudo isso é feito com o pretexto de contar a história de vida de alguém que procura obstinadamente a verdade. 

2. Esses temas são abordados de uma forma muito acessível e até apelativa. O truque dos autores foi o procurarem contar a história romanceada da vida de Bertrand Russell, uma vida bastante diversificada e preenchida em termos intelectuais e não só.

3. Apesar de apresentadas de forma descontraída e acessível, as ideias de Russell e de outros matemáticos e filósofos não constituem meras caricaturas. Mesmo quando são discutidas de forma sumária, os autores sabem do que estão a falar. Até porque Doxiadis é, ele próprio, um matemático encartado, autor do best seller internacional de divulgação científica O Tio Petros e a Conjectura de Golbach, e Papadimitriou é professor de ciência computacional em Berkeley. 

4. Descreve o contexto intelectual e histórico de uma verdadeira revolução de ideias ocorrida entre o fim do século XIX e o início da Segunda Guerra Mundial, cujos protagonistas são cérebros tão brilhantes quanto tortuosos (a loucura é uma presença constante ao longo do livro), como Frege, Hilbert, Cantor, Wittgenstein, Poincaré, Gödel, além de Whitehead e do próprio Russell. 

Nada disto significa que não possa haver aspectos menos conseguidos do livro, tanto a respeito das ideias nele contidas como a respeito dos desenhos. Quem espera encontrar uma discussão profunda das questões matemáticas e filosóficas nele abordadas, irá ficar decepcionado. Mas é duvidoso que alguém procure tal coisa num livro de banda desenhada. O livro já faz muito ao introduzir algumas ideias aparentemente inacessíveis a um público alargado, mas interessado nelas. E até quem as conhece bem consegue apreciar o modo como os autores as tratam. 

A edição portuguesa, que inclui um prefácio do conhecido matemático Jorge Buescu, é muito cuidada. Pena é ainda se encontrar um ou outro deslize de tradução de alguns termos filosóficos. Mas nada de mais. 

Os autores mantêm um sítio na net totalmente dedicado ao livro.

Ficaria muito surpreendido se jornais de referência como o Público ou o Expresso se dignassem falar do livro nos seus suplementos literários semanais. Afinal, os seus critérios não podem descer ao nível de um New York Times ou de um Guardian.

NOTA: É bom saber que me enganei, pois o Expresso publicou mesmo uma recensão ao livro no seu suplemento Actual. A recensão é da autoria de José Mário Silva e pode ser lida aqui.

Saber discordar

Foto: Aires Almeida

Qual é a negação de «O João e a Joana amam-se»?

Parece fácil? Pois, mas não é. Que o digam os alunos do 10º N, que levaram algum tempo perdidos com tentativas falhadas, até chegarem à resposta certa. O que, de resto, mostra que gostam de pensar e de aprender.

Antes de dar a resposta, vale a pena dizer algo mais.

Como seria de esperar, os filósofos passam o tempo a discutir. Discutem porque discordam: aquilo que uns pensam ser verdadeiro outros acreditam ser falso. Isso é o que leva uns a negar o que outros afirmam. Por exemplo, se um filósofo A defender a tese de que temos livre-arbítrio e outro filósofo B negar tal tese, este filósofo B estará, por sua vez, a defender outra tese: a tese de que não temos livre-arbítrio. Neste caso é fácil ver que a negação da afirmação «Temos livre-arbítrio» é «Não temos livre-arbítrio». 

Mas era bom que todas as negações fossem assim tão fáceis de compreender. Algumas teses filosóficas (e não só, claro) são mais complexas, pelo que temos de ter cuidado para não nos enganarmos a negá-las, caso nos pareça que não concordamos com elas.

As teses são aquilo a que se costuma chamar «proposições», as quais são expressas por meio de frases declarativas. A primera coisa que precisamos de compreender para negar correctamente uma dada tese ou proposição é a própria noção de negação. Ora, a negação é uma relação entre proposições, sendo que duas proposições são a negação uma da outra quando não podem ser ambas verdadeiras nem podem ser ambas falsas: a verdade de uma delas implica a falsidade da outra e vice-versa. 

Por exemplo, a negação de «Alguns algarvios são inteligentes» não é, como precipitadamente certos alunos dizem, «Alguns algarvios não são inteligentes», até porque as proposições expressas por estas frases são ambas verdadeiras. Do mesmo modo, a negação da tese de que todo o conhecimento tem origem na experiência não é, como por vezes se lê até em manuais de filosofia, que nenhum conhecimento tem origem na experiência. Isto porque se, por hipótese, for verdade que algum tem origem na experiência e outro não, então ambas as proposições anteriores serão falsas. Ora isso nunca pode ocorrer entre duas proposições que se negam mutuamente.

Mas podemos dar outros exemplos complexos. Há filósofos que defendem, por exemplo, que se o determinismo é verdadeiro, então não temos livre-arbítrio (já agora, esta é conhecida como «a tese incompatibilista»). E, claro, há filósofos que discordam (os compatibilistas). O que defendem então os compatibilistas? Bom, estes defendem a negação da tese incompatibilista: que o determinismo é verdadeiro e que temos livre-arbítrio.

Regressemos agora à pergunta inicial. Parece que a negação de «O João e a Joana amam-se» é «O João e a Joana não se amam». Pois parece, mas não é!

E não é, porque ambas as proposições expressas pelas frases anteriores podem ser falsas, apesar de não poderem ser ambas verdadeiras. Para compreender melhor isto, imagine-se que o João ama, de facto, a Joana, mas que a Joana se está nas tintas para o João. Neste caso, a proposição de que o João e a Joana se amam seria falsa. Mas assim também a proposição de que o João e a Joana não se amam seria falsa, dado ser falso que o João não ama a Joana. 

Concluindo, só há uma maneira de negar a proposição de que o João e a Joana se amam, que é a seguinte: o João não ama a Joana ou a Joana não ama o João.

Às vezes as pessoas pensam que estão a negar o que outros dizem e não estão a negar coisa alguma. É por isso que precisamos de aprender a discordar.

Argumentos válidos

Foto: Aires Almeida

- Todos os argumentos bons são válidos?
- Sim, a validade é uma condição necessária para um  argumento ser bom.
- E todos os argumentos válidos são bons?
- Não, a validade não é uma condição suficiente para um argumento ser bom.

Provavelmente a maior parte dos argumentos válidos não são bons, pois parece mais fácil dar exemplos de argumentos válidos que não são bons do que de argumentos válidos que sejam bons. Eis alguns exemplos de argumentos válidos que não prestam:

Exemplo 1

Deus existe.
Logo, Deus existe.

Exemplo 2

Deus existe e não existe.
Logo, Portugal fica em África.

Exemplo 3

Portugal fica em África.
Logo, Deus existe ou não existe.

Exemplo 4

Portugal fica em África.
Portugal não fica em África.
Logo, Deus existe.

Mas que são válidos, lá isso são.

Omnipotência

Há perguntas que nos deixam muitas vezes sem saber o que pensar. No teste diagnóstico que se encontra no início do manual A Arte de Pensar, do 10º ano, é feita uma pergunta para a qual alguns alunos nem sequer sabem como começar a responder, embora achem que há ali qualquer coisa que não bate certo. A finalidade da pergunta é precisamente a de deixar os alunos perplexos. Diz o seguinte: Poderá um ser omnipotente, como Deus, criar uma pedra tão pesada que ninguém a possa levantar?

Bom, quando se fala de «ninguém», isso inclui o próprio ser omnipotente. A pergunta parece conduzir-nos à ideia de que há algo de errado com a própria ideia de omnipotência e, por consequência, algo de errado também com a ideia de um deus omnipotente. Será?

Vamos tentar reformular a pergunta, para ver se compreendemos melhor o que está em causa. Proponho que se reformule da seguinte maneira: Será que um ser omnipotente pode criar algo que não possa criar?

Pois, se esta for uma reformulação correcta da nossa pergunta inicial, parece ficar mais claro que o problema talvez não seja a resposta, mas o que se pede na própria pergunta. Seria mais ou menos como perguntar se um ser que sabe tudo também sabe coisas que não sabe; ou que consegue criar coisas redondas que são quadradas.

No livro Que Diria Sócrates, organizado pelo filósofo Alexander George, alguns filósofos respondem a perguntas filosóficas de pessoas comuns. Deixo aqui um excerto do livro com a mesma pergunta, respondida pelo filósofo Richard Heck.

Pode Deus fazer uma pedra tão pesada que Ele próprio seja incapaz de a levantar? Se pode, então não é todo-poderoso. Mas se não a puder fazer, então também não será todo-poderoso. Em qualquer destes casos, temos uma coisa que Deus não consegue fazer. Assim, parece seguir-se que Deus (ou qualquer outra coisa, para o efeito) não pode ser omnipotente. 

RICHARD HECK: Apresenta-nos uma versão de um problema antigo, um problema que é incessantemente discutido por teólogos. Na sua formulação mais simples, diz o seguinte: Pode Deus fazer uma pedra que seja simultaneamente grande e não grande? É óbvio que não. Logo, Deus não é omnipotente.

A resposta mais conhecida a esta questão, favorecida por Tomás de Aquino, é que temos de ter mais atenção quanto ao modo como entendemos o conceito de omnipotência. Ser omnipotente não é ser capaz de fazer seja o que for: é ser capaz de fazer tudo o que é possível ser feito. Poderia Deus fazer uma pedra que fosse simultaneamente grande e não grande? Não. Mas o facto de Deus ser incapaz de o fazer não ameaça a omnipotência de Deus, uma vez que jamais seria possível existir uma pedra que fosse ao mesmo tempo grande e não grande. De igual modo, se Deus é omnipotente, então é simplesmente impossível existir uma pedra tão grande que Ele não possa levantá-la. Assim, o facto de Deus não poder criar uma pedra tão grande que Ele não possa levantá-la não constitui um limite ao poder de Deus.

Vale a pena referir também que alguns filósofos – René Descartes, por exemplo – defenderam que Deus poderia fazer uma pedra que fosse simultaneamente grande e não grande! Segundo esta perspectiva, os poderes de Deus são completamente ilimitados, a ponto de Deus não estar sequer limitado pelas leis da lógica. Pode ser impossível, para nós, compreender como se consegue tal feito, mas esta incompreensão deve-se ao facto de as nossas mentes serem finitas, sendo a do Criador infinita.

Falácias do optimista e do pessimista

Eis uma maneira de raciocinar falaciosa, típica do optimista:

Se P, então Q.
Mas Q é uma chatice.
Logo, não P.

Eis uma maneira de raciocinar falaciosa, típica do pessimista:

Se P, então Q.

Mas Q é muito bom.

Logo, não P.

No fundo, tanto o optimista como o pessimista acabam por ser preguiçosos.

Qual é a falácia?

Uma ex-ministra da saúde da Finlândia diz que a vacina da gripe A, ao contrário da própria gripe A, mata pessoas. Logo, a vacina da gripe A mata pessoas.

Quem argumenta melhor?

Etelvina - Deus existe.

Isaltino - Estás enganada, Deus não existe.

Etelvina - Mas por que dizes que Deus não existe?

Isaltino - Ora essa, porque ninguém consegue provar que existe e, portanto, não vejo por que razão haveríamos de acreditar que existe.

Etelvina - Mas a razão para acreditar é simples: porque ninguém consegue provar que não existe.

Mais uma derivação

Muitos alunos do 11º ano insistiram no pedido de mais exercícios para fazer derivações. Aqui têm mais um:

[(P Λ Q) Λ (R Λ S)] →P, ¬P |-- (¬P ∨¬Q) ∨ (¬R ∨¬S)

Espero que seja o último. Parece difícil, mas talvez não seja assim tanto. Vamos ver, pelas vossas respostas.

Humor filosófico

Ela sai para o alpendre da casa todas as manhãs e exclama:

- Que esta casa esteja protegida dos tigres! - E, em seguida, volta para dentro.

Por fim, nós dissemos-lhe:

- Para que é aquilo? Não há um único tigre num raio de mil e quinhentos quilómetros.

- Estão a ver? Resulta! - foi a sua resposta.

(Retirado de Thomas Cathcart e Daniel Klein, Platão e um Ornitorrinco Entram num Bar...)

Um exercício de lógica para o 11º ano

A pedido de vários alunos do 11º ano, deixo aqui um exercício de lógica um pouco mais difícil do que o habitual para fazer em casa. Vamos ver quem é capaz de resolver a seguinte derivação:

¬(S→P)→¬P,¬(¬P∨¬Q),Q→(S→P) |-- S→P

Nota 1: o martelo sintáctico está um bocado improvisado, mas acho que se percebe.

Nota 2: os alunos do 10º ano não se assustem com o que vão apanhar no 11º, pois isto é mais simples e divertido do que parece.